Question

15．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，$AD=\sqrt{2}$，AB=2，F为BC边上一点，且$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，若AF与BD交于点E，则$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EC}$=$\frac{62}{15}$．

Answer 1

分析 根据题意，建立直角坐标系，根据相似比可得各点的坐标，再计算即可．

解答 解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，
建立直角坐标系如图，显然△EBF∽△EDO，
由题意可知O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），
∵$\overrightarrow{BF}$=2$\overrightarrow{FC}$，及相似比的性质
∴F（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BD}$，
∴E（$\frac{8}{5}$，$\frac{2}{5}$），
从而$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EC}$=$（\frac{8}{3}，\frac{2}{3}）•（\frac{7}{5}，\frac{3}{5}）$=$\frac{62}{15}$，
故答案为：$\frac{62}{15}$．

点评 本题考查向量的数量积，建立坐标系根据相似比得出各点的坐标是解题的关键，属中档题．