Question

3．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=（2c-1）•c^x在R上为减函数，q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 c＞0，且c≠1，设p：函数y=（2c-1）•c^x在R上为减函数，可得$\left\{\begin{array}{l}{2c-1＞0}\\{0＜c＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2c-1＜0}\\{c＞1}\end{array}\right.$，解得c的范围；q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，化为x²+（1-4c）x+4c²-1＞0，利用△＜0，解得c范围．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可得p与q必然一真一假，解出即可．

解答 解：c＞0，且c≠1，设p：函数y=（2c-1）•c^x在R上为减函数，$\left\{\begin{array}{l}{2c-1＞0}\\{0＜c＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2c-1＜0}\\{c＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜c＜1$或c∈∅，因此$\frac{1}{2}＜c＜1$．
q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集为R，化为x²+（1-4c）x+4c²-1＞0，∴△=（1-4c）²-4（4c²-1）＜0，解得$c＞\frac{5}{8}$．
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{5}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜c≤\frac{1}{2}或c＞1}\\{c＞\frac{5}{8}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜c≤\frac{5}{8}$或c＞1．
∴实数c的取值范围是$\frac{1}{2}＜c≤\frac{5}{8}$或c＞1．

点评 本题考查了函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．