Question

11．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，且AD=4DC．
（Ⅰ）求BD的长；
（Ⅱ）求sin∠CBD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求cosC，sinC，AC，又AD=4DC，可求AD，DC，从而由余弦定理BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC即可求BD的值．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理即可求得sin∠CBD的值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
所以cosC=$\frac{3}{5}$，sinC=$\frac{4}{5}$，AC=5，…（3分）
又因为AD=4DC，所以AD=4，DC=1．…（4分）
在△BCD中，由余弦定理，
得BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC，…（7分）
=3²+1²-2×$3×1×\frac{3}{5}$=$\frac{32}{5}$，
所以 $BD=\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$．…（9分）
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理，得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sinC}$，
所以 $\frac{1}{sin∠CBD}=\frac{{\frac{{4\sqrt{10}}}{5}}}{{\frac{4}{5}}}$，…（12分）
所以 sin∠CBD=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（13分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，勾股定理的综合应用，属于基本知识的考查．