Question

16．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为AB的中点，AA₁=4，AB=6，则异面直线B₁D与AC₁所成角的余弦值为$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

Answer 1

分析 直接找异面直线所成的角不好找，所以可以考虑用向量解决，去求向量$\overrightarrow{{B}_{1}D}$和向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$的夹角，通过图形知道$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$，所以根据已知的边角的大小及数量积的运算求$\sqrt{（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）^{2}}$，$\sqrt{（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）^{2}}$，$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）•（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）$，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出向量$\overrightarrow{{B}_{1}D}$和向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$夹角的余弦，根据异面直线所成角的范围，从而得出要求的异面直线夹角的余弦值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{{AC}_{1}}=\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}D}=-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$；
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}D}$=$-{\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{BA}$$-\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{BA}$=-16+0-0-9=-25；
$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|=\sqrt{（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}）^{2}}=\sqrt{16+0+36}=2\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{{B}_{1}D}|=\sqrt{（-\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）^{2}}$=$\sqrt{16+0+9}=5$；
$cos＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{{B}_{1}D}＞=\frac{-25}{2\sqrt{13}•5}$=$-\frac{5\sqrt{13}}{26}$；
∴异面直线B₁D和AC₁所成角的余弦值为$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．
故答案为：$\frac{5\sqrt{13}}{26}$．

点评 考查向量加法的几何意义，共线向量，两非零向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，利用|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$求向量$\overrightarrow{a}$的长度，向量夹角余弦的计算公式，异面直线所成角的范围．