Question

6．在边长为1的正三角形ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=λ$\overrightarrow{CE}$，若$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BE}$=-$\frac{1}{4}$，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$和$•\overrightarrow{BE}$，由条件和数量积的运算化简$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BE}$=-$\frac{1}{4}$，即可求出λ的值．

解答 解：由题意画出图象如右图：
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
∴D为BC的中点，则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∵$\overrightarrow{CA}$=λ$\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{λ}\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{λ}\overrightarrow{AC}$，
则$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{AB}$=$（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BE}$=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•[$（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$]=$-\frac{1}{4}$，
$（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$（1-\frac{1}{λ}）{\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$-\frac{1}{2}$
$（-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$（1-\frac{1}{λ}）{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$-\frac{1}{2}$，
$（-\frac{1}{λ}）×1×1×\frac{1}{2}-1$+$（1-\frac{1}{λ}）=-\frac{1}{2}$，
解得λ=3，
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．