Question

15．已知a₁=1，a_n=5a_n-1+2•5^n-1，求证{$\frac{{a}_{n}}{{5}^{n}}$}成等差数列．

Answer 1

分析 根据等差数列的定义，将条件进行转化，即可得到结论．

解答 证明：∵a_n=5a_n-1+2•5^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{5}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{5}^{n-1}}$+$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{5}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{5}^{n-1}}$=$\frac{2}{5}$，
∵a₁=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{5}^{n}}$}是以$\frac{1}{5}$为首项，$\frac{2}{5}$为公差的等差数列．

点评 本题主要考查等差数列的判断，两边同除以5ⁿ是解决本题的关键．