Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$．
（Ⅰ）求f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零点；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，f（A）=2，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 根据向量的数量积得出f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．再运用三角函数性质求解在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零点；
（Ⅱ）由f（A）=2，得出$A=\frac{π}{3}$．根据面积公式得出$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}$，化简得出bc=4，根据余弦定理，再运用配方求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（m-n）•m=$（sinx+\sqrt{3}cosx，1）•（2sinx，-1）$
=$2\sqrt{3}sinxcosx+2{sin^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$．
由f（x）=0，得$2x-\frac{π}{6}=kπ$（k∈Z），则$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$（k∈Z），
因为$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，所以f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的零点是$-\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$．
（Ⅱ）由f（A）=2，得$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$，
所以$2A-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
因为0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
因为根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，
所以$b+c=2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的运用及应用，正弦定理在三角形中的应用，综合性较大，关键是结合三角函数的图象性质求解．