Question

16．在△ABC中，已知sin²A+sin²B=2sin²C，则∠C的取值范围是0＜∠C≤60°．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，表示出c²，利用余弦定理表示出cosC，将表示出的c²代入，并利用基本不等式求出cosC的度数，进而确定出∠C的范围．

解答 解：∵△ABC中，sin²A+sin²B=2sin²C，
∴由正弦定理化简得：a²+b²=2c²，即c²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
∴由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}$≥$\frac{2ab}{4ab}$=$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b时取等号，
∵∠C为三角形内角，
∴0＜∠C≤60°，
故答案为：0＜∠C≤60°．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．