Question

3．已知抛物线y²=6x和点P（4，1），直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由${y}_{1}^{2}=6{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=6x₂，可得$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6，利用斜率与中点坐标公式即可得出；
（2）直线l的方程为y-1=x-4，化为y=x-3；与抛物线方程联立化为x²-12x+9=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得原点O到直线l的距离，可得S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=4，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_AB，
∵${y}_{1}^{2}=6{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}$=6x₂，∴$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=6，∴2k_AB=6，解得k_AB=3．
∴直线l的方程为：y-1=3（x-4），化为3x-y-11=0．
（2）直线l的方程为y-1=x-4，化为y=x-3；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{{y}^{2}=6x}\end{array}\right.$，化为x²-12x+9=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（1{2}^{2}-4×9）}$=$6\sqrt{6}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{|0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×6\sqrt{6}×\frac{3}{\sqrt{2}}$=$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率与中点坐标公式、直线与与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．