Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线与射线y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于点Q，其中α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，由三角函数的和差公式即可计算；
（Ⅱ）用坐标表示出点P、Q，利用辅助角公式将式子进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求出数量积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα=$\frac{1}{3}$，$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
∴$cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$α＜\frac{π}{3}$．
∵∠MOQ=$\frac{π}{3}$，且$α＜\frac{π}{3}$，
∴$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，
∴cos∠POQ=$cos（\frac{π}{3}-α）$=$cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$；
（Ⅱ）∵P（cosα，sinα），
∴Q（cosα，$\sqrt{3}cosα$）
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$co{s}^{2}α+\sqrt{3}sinα•cosα$=$\frac{1}{2}cos2α+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α+\frac{1}{2}$=$sin（2α+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
∴$-\frac{5π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以，当$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$取最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及两角和差公式的应用，以及向量数量积的计算，根据三角函数的定义求出点P、Q的坐标是解决本题的关键．