Question

19．如图，半球O内有一内接四棱锥S-ABCD，底面ABCD为正方形，SO⊥底面ABCD，该四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则该半球的体积为$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．

Answer 1

分析 设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．

解答 解：设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．
则AB=$\sqrt{2}r$，
四棱锥的体积为：$\frac{1}{3}（\sqrt{2}r）^{2}×r$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
半球的体积为：$\frac{2π}{3}{r}^{2}$=$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．

点评 本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．