Question

9．求下列函数的最值：
（1）f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx，x∈[0，2π]；
（2）f（x）=e^-x-e^x，x∈[0，a]（a＞0）．

Answer 1

分析 （1）首先，求解导数，然后，求解极值点，并求解极值，最后，求解端点处的函数值，即可确定最大值和最小值；
（2）求解导数，得到该函数为减函数，利用单调性得到其最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{2}$+cosx，
令f′（x）=0，
∴x=$\frac{2π}{3}$或x=$\frac{4π}{3}$，
当0≤x$≤\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$≤x≤2π时，f′（x）≥0，
当$\frac{2π}{3}$＜x＜$\frac{4π}{3}$时，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{2π}{3}$时取得极大值f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{π}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
x=$\frac{4π}{3}$时取得极小值f（$\frac{4π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵f（0）=0，f（2π）=π，
∴最大值为π，最小值为0．
（2）∵f′（x）=-e^-x-e^x，
=-（e^-x+e^x）＜0，
∴f（x）为[0，a]上的减函数，
∴最大值为f（0）=-2，最小值为f（a）=e^-a-e^a

点评 本题重点考查了导数在求解函数最值中的应用、导数的计算、函数的单调性与导数等知识，属于中档题．