Question

1．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=3，则线段AC的长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，易得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，建立直角坐标系，设D（x，y），则C（0，y），（-x，0），则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=y²=3，解出$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|$即可．

解答 解：根据题意，得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，
又∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=0$，
又四边形ABCD为平行四边形，建立直角坐标系如右图，
设D（x，y），则C（0，y），B（-x，0），
则$\overrightarrow{AC}$=（0，y），$\overrightarrow{AD}$=（x，y），
所以$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$=y²=3，
从而线段AC的长为$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}|$=$\sqrt{{y}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，建立直角坐标系是解决本题的关键，属中档题．