Question

12．如图，一条直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则抛物线方程为（　　）

• A． y²=$\frac{5}{4}$x
• B． y²=$\frac{5}{2}$x
• C． y²=5x
• D． y²=10x

Answer 1

分析 利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．

解答 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=$\frac{1}{2}$，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为y=-2x+5，
设A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则
由OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．
则x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25=0，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$，
消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x₁+x₂=$\frac{10+p}{2}$，x₁x₂=$\frac{25}{4}$．
∴x₁x₂+y₁y₂=5×$\frac{25}{4}$-10×$\frac{10+p}{2}$+25=0，
∴p=$\frac{5}{4}$，
当p=$\frac{5}{4}$时，方程①成为8x²-45x+50=0显然此方程有解．
∴p=$\frac{5}{4}$成立，
即有抛物线的方程为y²=$\frac{5}{2}$x．
故选B．

点评 本题主要考查抛物线方程，同时考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．