Question

4．已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1（x∈R），当x∈[0，$\frac{x}{2}$]时，若函数y=f（x）-k有两个零点，则k的取值范围为1≤k＜$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三角恒变换化简f（x）═sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；从而可知函数f（x）与函数y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，作函数图象求解．

解答 解：f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，要使函数y=f（x）-k有两个零点，
只需使函数f（x）与函数y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，
作函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的图象如下，

结合图象可得，
1≤k＜$\sqrt{2}$；
故答案为：1≤k＜$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的应用及学生作图与用图的能力，属于基础题．