Question

14．记x₂-x₁为区间[x₁，x₂]的长度．已知函数y=2^|x|，x∈[-2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是3．

Answer 1

分析 先去绝对值原函数变成y=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}&{x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$，所以可将区间[-2，a]分成[-2，0），和[0，a]，所以求出每种情况的y的取值范围：x∈[-2，0）时，1＜y≤4；而x∈[0，a]时，1≤y≤2^a，所以讨论0≤a≤2，和a＞2两种情况，并求出每种情况下函数的值域，从而求出区间[m，n]的长度的最小值．

解答 解：$y={2}^{|x|}=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}&{x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴①x∈[-2，0）时，$（\frac{1}{2}）^{0}＜（\frac{1}{2}）^{x}≤（\frac{1}{2}）^{-2}$；
∴此时1＜y≤4；
②x∈[0，a]时，2⁰≤2^x≤2^a；
∴此时1≤y≤2^a，则：
0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；
a＞2时，区间长度为2^a-1＞3；
∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．
故答案为：3．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，指数函数的单调性，根据函数的单调性求函数的取值范围，区间长度的概念，以及分段函数值域的求法，注意对a的讨论．