Question

9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为$\frac{19}{3}π$

Answer 1

分析 由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可以求出三棱柱的底面边长和高，进而求出它外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出答案．

解答 解：由已知中的三棱柱的正视图可得三棱柱的底面边长为2，高为1，
则三棱柱的底面外接圆半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到底面的距离d=$\frac{1}{2}$，
则球的半径R=$\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{19}{12}}$，
故该球的表面积S=4π•R²=$\frac{19}{3}π$．
故答案为：$\frac{19}{3}π$．

点评 本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知条件确定三棱柱的底面边长和高，进而根据棱柱的底面外接圆半径，球心距，球半径构成直角三角形，满足勾股定理求出球半径是解答本题的关键．