Question

19．数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，则数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 在S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1①，令n=1可得a₁=$\frac{2}{3}$．再由当n≥2时，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1②，用①减去②可得a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，由此可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1①，令n=1可得a₁=$\frac{2}{3}$．
再由当n≥2时，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1②，
①减去②可得 a_n+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，
∴a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
故数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，故a_n=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
故答案为：a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$．

点评 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等比数列的通项公式，属于基础题．