Question

4．已知O是△ABC的外接圆圆心，$|\overrightarrow{AB}|=4$，D是BC中点，若$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=5$，则$|\overrightarrow{AC}|$=2．

Answer 1

分析 根据圆的知识与数量积的定义得出与已知条件相关的式子$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|^2}=8$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}$，
再运用向量的加法的几何意义得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，代入$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=5$，展开即可．

解答 解：∵AB=4，O是△ABC的外接圆圆心，

∴根据数量积意义$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|^2}=8$，
同理$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}$，
∵D是BC中点，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}）$，
即$5=\frac{1}{2}×（8+\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|^2}）$，
∴$|\overrightarrow{AC}|=2$．
故答案为：2．

点评 本题综合考查了向量的运算，数量积，结合几何图形，利用圆的知识与数量积的定义得出与已知条件相关的式子，整体运用，思维难度较大，题目很新颖．