Question

9．设复数z≠-1，则“|z|=1”是“$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．

解答 解：若$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数纯虚数，
则设$\frac{z-1}{z+1}$=bi，（b≠0），z=x+yi，
则z-1=bi（z+1），
即x-1+yi=bi（x+1+yi）=-by+（x+1）bi，
则$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-by}\\{（x+1）b=y}\end{array}\right.$，两式相除消去b得（x-1）（x+1）=-y²，
即x²+y²=1，此时|z|=1，即必要性成立，
若z=1，满足|z|=1，但此时$\frac{z-1}{z+1}$=0，不是纯虚数，故充分性不成立，
故“|z|=1”是“$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数”的必要不充分条件，
故选：B

点评 本题主要考查复数的有关概念以及充分条件和必要条件的判断，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．