Question

10．已知函数f（x）=|2x-1|+a（a∈R），且不等式解集为{x|-2≤x≤3}．
（1）求实数a的值；
（2）若存在实数n使得f（x）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化绝对值不等式，去掉绝对值符号求出解集，然后推出a．
（2）化简f（x）=|2x-1|+1，构造ϕ（n）=f（n）+f（-n），通过绝对值不等式的几何意义，求解ϕ（n）的最小值，即可求解实数m的取值范围．

解答 解：（1）由|2x-a|+a≤6，得|2x-a|≤6-a，6-a≥0，
∴a≤6，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3…（2分）
∴a-3=-2，即a=1…（4分）
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，
令ϕ（n）=f（n）+f（-n），
则$φ（n）=|{2n-1}|+|{2n+1}|+2=\left\{{\begin{array}{l}{2-4n}&{（n≤-\frac{1}{2}）}\\ 4&{（-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}）}\\{2+4n}&{（n＞\frac{1}{2}）}\end{array}}\right.$…（6分），
ϕ（n）的最小值为4…（8分）
∴m≥4，
即实数m的取值范围是[4，+∞）…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．