Question

2．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁+a₇=-9，S₉=-$\frac{99}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）设数列{a_n}的公差为d，由于a₁+a₇=-9，S₉=-$\frac{99}{2}$，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=-9}\\{9{a}_{1}+36d=-\frac{99}{2}}\end{array}\right.$，解出即可；
（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S_n=$-\frac{n（n+2）}{2}$，于是b_n=-$\frac{1}{n（n+2）}$=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．

解答 （Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d，
∵a₁+a₇=-9，S₉=-$\frac{99}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=-9}\\{9{a}_{1}+36d=-\frac{99}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{3}{2}}\\{d=-1}\end{array}\right.$，∴${a}_{n}=-\frac{3}{2}-（n-1）$=-$\frac{2n+1}{2}$．
（Ⅱ）证明：∵S_n=$\frac{n（-\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2}）}{2}$=$-\frac{n（n+2）}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2{S}_{n}}$=-$\frac{1}{n（n+2）}$=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=-$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$-\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）-\frac{3}{4}$
$＞-\frac{3}{4}$．
∴T_n＞-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．