Question

13．数列{a_n}是公差不为-1的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{2n•2（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠-1，
∵a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
∴${a}_{3}^{2}={a}_{2}（{a}_{4}+1）$，
∴（2+2d）²=（2+d）（2+3d+1），
化为d²-d-2=0，
又d≠-1，解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．