Question

12．函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数y=x³-x²+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞$\sqrt{3}$；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点A、B是抛物线y=x²+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
④设曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（-∞，1）．以上正确命题的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 由新定义，利用导数逐一求出函数y=x³-x²+1、y=x²+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．

解答 解析：①错：解：对于（1），由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
则k_A=1，k_B=8，则|k_A-k_B|=7
y₁=1，y₂=5，则|AB|=$\sqrt{17}$，
φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$$\frac{7}{\sqrt{17}}＜\sqrt{3}$，①错误；
②对：如y=1时成立；
③对：φ（A，B）=$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$=$\frac{|2{x}_{A}-2{x}_{B}|}{\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{{x}_{A}}^{2}-{{x}_{B}}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}}}≤2$；
④错：对于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$=$\frac{|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|}{\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}}$．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即$t|{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}|＜\sqrt{1+（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）^{2}}$恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．
故答案为：②③

点评 本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解．