Question

7．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥面ABC，则球O的表面积为$\frac{40}{3}$π．

Answer 1

分析 通过底面三角形ABC求出底面圆的半径AM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．

解答 解：△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$
底面三角形的底面半径为：AM=CM=$\frac{\sqrt{7}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
AP是球的弦，PA=2，∴OM=1，
∴球的半径OA=$\sqrt{1+\frac{7}{3}}$=$\sqrt{\frac{10}{3}}$．
该球的表面积为：4πOA²=$\frac{40}{3}$π．
故答案为：$\frac{40}{3}$π．

点评 本题考查球O的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．