Question

16．已知函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a_n}的第二项与第三项，若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 由于函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），可得a₂=2，a₃=3，利用等差数列的通项公式可得：a_n=n，b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：函数y=log_a（x-1）+3（a＞0，a≠1）所过定点为（2，3），
∴a₂=2，a₃=3，
∴等差数列{a_n}的公差d=3-2=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+n-2=n，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
∴T₂₀₁₅=$\frac{2015}{2016}$．
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查了对数函数的性质、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．