Question

6．若定义R在上的函数f（x）满足f（x）=$\frac{f′（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，g（x）=f（$\frac{π}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1+a）x+a
（Ⅰ）求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）单调区间；
（Ⅲ）当a≥2且x≥1时，试比较|$\frac{e}{x}$-lnx|+lnx和g′（x-1）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过函数的导数，利用f′（1）=f′（1）+2-2f（0），求出f（0），结合$f（0）=\frac{f'（1）}{2}•{e^{-2}}$，求解函数的解析式．
（Ⅱ）求出函数的导数g′（x）=e^x+a，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可．
（Ⅲ）构造$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={g^，}（x-1）-lnx$，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1≤x≤e时，当x＞e时，当1≤x≤e时，推出m（x）≤m（1）=e-1-a，得到$|\frac{e}{x}-lnx|+lnx＜{g^，}（x-1）$，构造n（x）=2lnx-e^x-1-a，通过函数的导数判断单调性，然后证明结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），．
所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1…（1分）
又$f（0）=\frac{f'（1）}{2}•{e^{-2}}$，所以f'（1）=2e²，…（2分）
所以f（x）=e^2x+x²-2x…（3分）
（Ⅱ）∵f（x）=e^2x-2x+x²，∴g（x）=e^x+ax+a..…（4分）
∴g（x）=e^x+a..…（5分）
a≥0，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；．…（6分）
a＜0令g（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a）
函数g（x）的单调递增区间为（ln（-a），+∞），
单调递减区间为（-∞，ln（-a））．．…（7分）
（Ⅲ）解：设$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={g^，}（x-1）-lnx$，
∵$p'（x）=-\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，
又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，
当x＞e时，p（x）＜0…（8分）
当1≤x≤e时，$|p（x）|-q（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$
设$m（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，则$m'（x）=-\frac{e}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，
∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴$|\frac{e}{x}-lnx|+lnx＜{g^，}（x-1）$..…（9分）
x＞e时，$|p（x）|-q（x）=2lnx-\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a＜2lnx-{e^{x-1}}-a$
设n（x）=2lnx-e^x-1-a，则$n'（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}$，$k（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}，{k^，}（x）=-\frac{2}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$
∴n′（x）在x＞e时为减函数，∴$n'（x）＜n'（e）=\frac{2}{e}-{e^{e-1}}＜0$，
∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴$|\frac{e}{x}-lnx|+lnx＜{g^，}（x-1）$..…（11分）
综上：$|\frac{e}{x}-lnx|+lnx＜{g^，}（x-1）$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，构造法以及二次求解导数以及单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．