Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）与函数y=$\sqrt{x}$的图象交于点P，若函数y=$\sqrt{x}$的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F₁（-1，0），则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+2}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．

解答 解：设$P（{x_0}，\sqrt{x_0}）$，函数y=$\sqrt{x}$的导数为：y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，∴切线的斜率为$\frac{1}{{2\sqrt{x_0}}}$，
又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（-1，0），∴$\frac{1}{{2\sqrt{x_0}}}=\frac{{\sqrt{x_0}}}{{{x_0}+1}}$，解得x₀=1，
∴P（1，1），
双曲线的左焦点F₁（-1，0），则双曲线的右焦点F₂（1，0），既c=1．
则|PF₁|-|PF₂|=2a，既$\sqrt{（1-（-1））^{2}+（1-0）^{2}}$-$\sqrt{（1-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=2a
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
所以离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

点评 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求．