Question

13．已知O是△ABC的外接圆圆心，$|\overrightarrow{AB}|=4$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，∠ABC=30°，若D是BC中点，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}$=5．

Answer 1

分析 根据条件得出$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，利用正弦定理得出∠ACB=90°，∠ACB=60°，CB=2$\sqrt{3}$，展开$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）•（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）代入即可．

解答 解：∵O是△ABC的外接圆圆心，$|\overrightarrow{AB}|=4$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，∠ABC=30°，若D是BC中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin30°}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sin∠ACB}$，
即sin∠ACB=1，

∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）•（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$）=
$\frac{1}{2}×{2}^{2}$$+\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{CB}$$+\frac{1}{4}$×（2$\sqrt{3}$）²=2+0+3=5
故答案为：5

点评 本题考查了三角形中的边角关系，平面向量的运算，数量积的计算，难度不大，仔细写即可，属于中档题．