Question

6．设抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆记作C₂
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，与椭圆C₂交于B₁，B₂两点．当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|长．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆的标准方程；
（2）当直线l与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），由由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.即（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A₁A₂|．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂，
以F₁、F₂为焦点，离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆记作C₂，
∴椭圆C₂的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）当直线L与x轴垂直时，B₁（1，$\frac{3}{2}$），B₂（1，-$\frac{3}{2}$），又F₁（-1，0），
此时$\overrightarrow{{B_1}{F_1}}•\overrightarrow{{B_2}{F_1}}≠0$，所以以B₁B₂为直径的圆不经过F₁．不满足条件；
当直线L不与x轴垂直时，设L：y=k（x-1）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.即（{3+4{k^2}}）{x^2}-8{k^2}x+4{k^2}-12=0$，
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．
设B₁（x₁，y₁），B₂（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
因为以B₁B₂为直径的圆经过F₁，所以$\overrightarrow{{B_1}{F_1}}•\overrightarrow{{B_2}{F_1}}=0$，又F₁（-1，0），
所以（-1-x₁）（-1-x₂）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0
所以解得${k^2}=\frac{9}{7}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-1）\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
因为直线L与抛物线有两个交点，所以k≠0，
设A₁（x₃，y₃），A₂（x₄，y₄），则${x_3}+{x_4}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}，{x_3}{x_4}=1$，
所以$|{{A_1}{A_2}}|={x_3}+{x_4}+p=2+\frac{4}{k^2}+2=\frac{64}{9}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查弦长的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式的合理运用．