Question

18．设sinα是sinθ，cosθ的等差中项，sinβ是sinθ，cosθ的等比中项，求证：cos4β-4cos4α=3．

Answer 1

分析 所证明的式子中不含角θ，因此先由已知，考虑将θ作为桥梁，沟通α，β，得出4sin²α-2sin²β=1．再由降幂公式证明等式左边等于右边即可．

解答 证明：∵由题意，sinθ+cosθ=2sinα ①，
sinθ•cosθ=sin²β ②，…（2分）
∴①²-2×②消去θ得4sin²α-2sin²β=1③．…（5分）
∴可得：4×$（\frac{1-cos2α}{2}）$-2×（$\frac{1-cos2β}{2}$）=1，解得：2cos2α=cos2β，即4cos²2α=cos²2β，
∴等式左边=2cos²2β-1-4（2cos²2α-1）=8cos²2α-1-8cos²2α+4=3=右边，故得证．

点评 本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，考查了减元，转化思想，属于中档题．