Question

8．如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x²=-2py（p＞0）交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（-2，-6）．
（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；
（Ⅱ）求线段AB的长；
（Ⅲ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入点（-2，-6），求得k=2，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，由题意可得p=1，即可得到抛物线的方程；
（Ⅱ）运用弦长公式：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|，计算即可得到；
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．设与AB平行的直线l'的方程为y=2x+m，联立抛物线方程，由判别式为0，可得m=2，由两平行直线的距离公式即可求得h的最大值，计算可得面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，点（-2，-6）在直线l上，
所以-6=-2k-2，解得k=2，
所以直线l的方程为y=2x-2．     
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=-2py\;，\;\\ y=2x-2\;，\;\end{array}\right.$消去y，得x²+4px-4p=0，
所以x₁+x₂=-4p，x₁•x₂=-4p．
所以-4p=-4，解得p=1．
所以抛物线的方程为x²=-2y．             
（Ⅱ）$|AB|\;=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|\;=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}•\sqrt{32}=4\sqrt{10}$．    
（Ⅲ）当点P到直线AB的距离h最大时，△ABP的面积最大．
设与AB平行的直线l'的方程为y=2x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=-2py\;，\;\\ y=2x+m\;，\;\end{array}\right.$消去y，得x²+4x+2m=0，
由△=0，解得m=2．
所以l'的方程为y=2x+2．              
所以${h_{max}}=\frac{|2-（-2）|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
所以△ABP面积的最大值为${S_{max}}=\frac{1}{2}×{h_{max}}×|AB|\;=\;\frac{1}{2}×4\sqrt{10}×\frac{{4\sqrt{5}}}{5}=8\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程的性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．