Question

3．已知正三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，那么满足条件的正三角形的个数为2．

Answer 1

分析 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的斜率，进而表示出这两条直线，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．进而可知这样的三角形有2个．

解答 解：由y²=2px（P＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
等边三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，
则等边三角形关于x轴轴对称．
即有两个边的斜率k=±tan30°=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
其方程为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，
分别构成一个等边三角形．
故满足条件的正三角形的个数为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，利用抛物线和正三角形的对称性是解题的关键．