Question

20．设直线y=2x-4与抛物线y²=4x交于A，B两点．
（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）求A，B两点的坐标，并求出线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，且p=2，由焦点坐标和准线方程即可得到所求；
（2）联立直线方程和抛物线方程，消去y，解方程可得x，进而得到交点的纵坐标，再由两点的距离公式计算即可得到．

解答 解：（1）由题意可知抛物线的焦点在x轴上，开口向右，
即有2p=4，解得p=2，
故焦点坐标为（1，0），准线为x=-1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=2x-4\end{array}\right.$，消去y，得x²-5x+4=0，
解出x₁=1，x₂=4，
于是，y₁=-2，y₂=4，
所以A，B两点的坐标分别为A（4，4），B（1，-2），
则有线段AB的长：$|AB|=\sqrt{{{（4-1）}^2}+{{（4+2）}^2}}=3\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，运用两点的距离公式，属于基础题．