Question

1．已知抛物线y²=8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 如图所示，F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与抛物线方程联立化为k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，（k≠0）．由于△＞0，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线FA与直线FB的斜率之和=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{k（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）+k（{x}_{2}+2）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，代入计算即可．

解答 解：如图所示，
F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，（k≠0）．
由于△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{8-4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴直线FA与直线FB的斜率之和=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{k（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）+k（{x}_{2}+2）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
分子=k（2x₁x₂-8）=0，
∴直线FA与直线FB的斜率之和为0．
故选：A．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．