Question

16．已知点A（2，1），抛物线y²=4x的焦点F，P是抛物线上的一动点则|PA|+|PF|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．

解答 解：根据题意，作图如右．
设点P在其准线x=-1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|
∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，
∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），
∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），
点P的纵坐标y₀=1，设其横坐标为x₀，
∵P（x₀，1）为抛物线y²=4x上的点，
∴x₀=$\frac{1}{4}$，
则有当P为（$\frac{1}{4}$，1）时，|PA|+|PF|取得最小值，为3．
故选C．

点评 本题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．