Question

5．是否存在常数a，b使等式$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{3•5}$+…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{an+b}$对一切正整数n都成立？如存在，求出a，b的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 利用裂项法进行求解，解方程组即可得到结论．

解答 解：∵$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{3•5}$+…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+$$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{4n+2}$，
若等式$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{3•5}$+…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{an+b}$对一切正整数n都成立，
则$\frac{n}{4n+2}$=$\frac{n}{an+b}$对一切正整数n都成立，
即a=4，b=2，
故存在常数a=4，b=2使等式$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{3•5}$+…$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n}{an+b}$对一切正整数n都成立．

点评 本题主要考查数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．