Question

14．已知函数f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=-$\frac{1}{4}$，a=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边长c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，由周期公式可得；
（2）结合（1）可得C=$\frac{π}{3}$，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．

解答 解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+$\frac{π}{3}$）
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{1}{2}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由题意可得f（C）=$\frac{1}{2}$cos（2C+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{3}$）=-1，∴C=$\frac{π}{3}$，
又∵△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，
∴ab=8，∴b=$\frac{8}{a}$=$\frac{8}{2}$=4，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=12，
∴c=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．