Question

6．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}+cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$（θ是参数），直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{12}$（ρ∈R）
（Ⅰ）求C的普通方程与极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sin²θ+cos²θ=1，可得圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到圆的极坐标方程；
（Ⅱ）由于圆经过原点，由圆的极坐标方程，代入$θ=\frac{π}{12}$，计算即可得到弦长．

解答 解：（Ⅰ）由sin²θ+cos²θ=1，可得
圆C的普通方程是（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
又x²+y²-$\sqrt{2}$x$-\sqrt{2}y$=0，即有ρ²=$\sqrt{2}$ρ（cosθ+sinθ），
即有圆的极坐标方程是ρ=2cos（θ-$\frac{π}{4}$）；          
（Ⅱ）由圆的极坐标方程可得，
当$θ=\frac{π}{12}$时，
ρ=2cos（$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$）=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故|AB|=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程和普通方程及极坐标方程的互化，同时考查极坐标方程的运用，属于基础题．