Question

19．如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．
（1）当P距O处2百米时，求OQ的长；
（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q的方程解之即可；
（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可．

解答 解：以O为原点，直线l、m分别为x，y轴建立平面直角坐标系．
设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为x²+（y-1）²=1，
（1）由题意可设直线PQ的方程为$\frac{x}{2}+\frac{y}{q}=1$，即qx+2y-2q=0，（q＞2），
∵PQ与圆A相切，∴$\frac{{|{2-2q}|}}{{\sqrt{{q^2}+{2^2}}}}=1$，解得$q=\frac{8}{3}$，
故当P距O处2百米时，OQ的长为$\frac{8}{3}$百米．
（2）设直线PQ的方程为$\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1$，即qx+py-pq=0，（p＞1，q＞2），
∵PQ与圆A相切，∴$\frac{{|{p-pq}|}}{{\sqrt{{q^2}+{p^2}}}}=1$，化简得${p^2}=\frac{q}{q-2}$，则$P{Q^2}={p^2}+{q^2}=\frac{q}{q-2}+{q^2}$，
令$f（q）=\frac{q}{q-2}+{q^2}（q＞2）$，∴$f'（q）=2q-\frac{2}{{{{（q-2）}^2}}}=\frac{{2（q-1）（{q^2}-3q+1）}}{{{{（q-2）}^2}}}$（q＞2），
当$2＜q＜\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$时，f'（q）＜0，即f（q）在$（2，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$上单调递减；
当$q＞\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$时，f'（q）＞0，即f（q）在$（\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞）$上单调递增，
∴f（q）在$q=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$百米．
答：（1）当P距O处2百米时，OQ的长为$\frac{8}{3}$百米；
（2）当公路PQ长最短时，OQ的长为$\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$百米．

点评 本题考查了利用函数在几何问题中的应用．以及利用导数研究函数的最值的基本思路，属于基础题．