Question

7．已知点P是抛物线y²=6x上的动点，F是抛物线的焦点，A（$\frac{7}{2}$，2$\sqrt{3}$）为定点，则|PA|+|PF|的最小值是5，取得最小值时点P的坐标是（2，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|，此时，P点的纵坐标为2$\sqrt{3}$，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为2，从而得到P点的坐标．

解答 解：由题意可得F（$\frac{3}{2}$，0 ），准线方程为x=-$\frac{3}{2}$，
作PM⊥准线l，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，
故当P，A，M三点共线时，
|PA|+|PM|最小为|AM|=$\frac{7}{2}$-（-$\frac{3}{2}$）=5，
此时，P点的纵坐标为2$\sqrt{3}$，代入抛物线的方程
可求得P点的横坐标为2，
故P点的坐标为（2，2$\sqrt{3}$），
故答案为：5，（2，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|，是解题的关键，属于中档题．