Question

19．已知△AOB是以原点O为直角顶点的抛物线x²=2py（p＞0）的内接直角三角形（如图），求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 由题意设出OA所在直线方程，得到OB所在直线方程，联立两直线方程与抛物线方程求得A，B的坐标，得到AB所在直线的斜率，写出AB所在直线方程，求出AB与y轴交点的坐标，把△AOB的面积用含有OA的斜率的代数式表示，然后利用基本不等式求得最小值．

解答 解：△AOB中，A，B是斜边与抛物线的两个交点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线OA斜率为k（k＞0），方程为y=kx，
则直线OB斜率为$-\frac{1}{k}$，方程为y=-$\frac{1}{k}x$，
设AB所在直线斜率为k₀，
∵A，B在抛物线x²=2py上，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2pk}\\{{y}_{1}=2p{k}^{2}}\end{array}\right.$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{2p}{k}}\\{{y}_{2}=\frac{2p}{{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
${k}_{0}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{\frac{2p}{{k}^{2}}-2p{k}^{2}}{-\frac{2p}{k}-2pk}=\frac{{k}^{2}-1}{k}$，
∴AB所在直线方程为$y-2p{k}^{2}=\frac{{k}^{2}-1}{k}（x-2pk）$，
整理得：（k²-1）x-ky+2pk=0．
设AB与y轴交于C（0，y_C），令x=0，得：y_C=2p，
∴|OC|=2P，
则△AOB面积为S=$\frac{1}{2}|OC||{x}_{1}-{x}_{2}|$，
则S=$\frac{1}{2}×2p×（2pk+\frac{2p}{k}）=2{p}^{2}（k+\frac{1}{k}）$ $≥2{p}^{2}×2\sqrt{k•\frac{1}{k}}=4{p}^{2}$．
当且仅当$k=\frac{1}{k}$，即k=1时上式等号成立．
∴△AOB面积的最小值为4p²．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，考查了计算能力，是中档题．