Question

15．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为90°．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，根据向量数量积的运算化简得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，即可求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
所以（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
则2+$\overrightarrow{a}•$$\overrightarrow{b}$-2=0，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
所以$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为90°，
故答案为：90°．

点评 本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．