Question

3．在△ABC中，b=2，$cosC=\frac{3}{4}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin2A值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件求得sinC的值，利用△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$求得a的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得c的值，利用正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2A值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵b=2，$cosC=\frac{3}{4}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}a$•2•$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
a=1．
（Ⅱ）由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC=1+4-3=2，∴c=$\sqrt{2}$．
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{1}{sinA}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．
由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{\sqrt{14}}{8}$•$\frac{5\sqrt{2}}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，大边对大角，二倍角公式的应用，属于中档题．