Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N^*，若数列{a_n}是单调递增数列，则$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$的取值范围是 $[\frac{16}{3}，6）$．

Answer 1

分析 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N^*，若数列{a_n}是单调递增数列，可得$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{（3-a）×7-3≤{a}^{8-6}}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3.$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$=a+1+$\frac{4}{a+1}$+1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t+$\frac{4}{t}$+1，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3-a）x-3（x≤7）\\{a^{x-6}}（x＞7）\end{array}$，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N^*，若数列{a_n}是单调递增数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-a＞0}\\{（3-a）×7-3≤{a}^{8-6}}\end{array}\right.$，解得2≤a＜3．
∴$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$=a+1+$\frac{4}{a+1}$+1，
令a+1=t∈[3，4），f（t）=t+$\frac{4}{t}$+1，
f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{{t}^{2}}$＞0，
∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；
∴f（3）≤f（t）＜f（4），
可得$\frac{16}{3}≤f（t）＜6$．
∴$\frac{{{a^2}+3a+6}}{a+1}$的取值范围是$[\frac{16}{3}，6）$．
故答案为：$[\frac{16}{3}，6）$．

点评 本题考查了数列的函数性质、利用导数研究函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．