Question

2．已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，
（1）求抛物线方程；
（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；
（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．
（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG中，可得|QM|=$2\sqrt{2}$a，因此k=tan∠QPG=$2\sqrt{2}$，即可得出．
（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设$AB：x=my+t，CD：x=-\frac{1}{m}y+t$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距离公式可得，|TM|，|TN|．S_△TMN=$\frac{1}{2}|TM||TN|$及基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），
∴y²=8x．
（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．
设抛物线的准线为l，
过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．
|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．
在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，
得|QM|=$2\sqrt{2}$a，
∴k=tan∠QPG=$2\sqrt{2}$，
同理k＜0时，$k=-2\sqrt{2}$，
∴$k=±2\sqrt{2}$．
（3）根据题意得AB，CD斜率存在．
设$AB：x=my+t，CD：x=-\frac{1}{m}y+t$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\{y^2}=8x\end{array}\right.⇒{y^2}-8my-8t=0$，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=4m⇒\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=4{m^2}+t⇒M（{4{m^2}+t，4m}）$，
同理可得$N（{\frac{4}{m^2}+t，-\frac{4}{m}}）$，
∴$|{TN}|=\sqrt{\frac{16}{m^4}+\frac{16}{m^2}}=\frac{4}{{{{|m|}^2}}}\sqrt{{m^2}+1}$，
$|{TM}|=\sqrt{16{m^4}+16{m^2}}=4|m|\sqrt{{m^2}+1}$，
∴${S_{△TMN}}=\frac{1}{2}|{TM}||{TN}|=8（{|m|+\frac{1}{|m|}}）≥16$，
当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．

点评 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直角三角形的边角关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．