Question

12．三角形ABC中，已知sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C，其中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求$\frac{a+b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理化简可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sin（A+\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，结合A的范围，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A$+\frac{π}{3}$）＜1，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由sin²A+sin²B+sinAsinB=sin²C，利用正弦定理化简得：a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{-ab}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
即C=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=$\frac{π}{3}-A$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{sinA+sin（\frac{π}{3}-A）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{sin（A+\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}＜$A$+\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（A$+\frac{π}{3}$）＜1，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$＜$\frac{sin（A+\frac{π}{3}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$＜$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，从而解得：$\frac{a+b}{c}$∈（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．