Question

19．已知抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的交点为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．
（1）求椭圆标准方程；
（2）求四边形ADBC的面积的最大值；
（3）若M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）是椭圆上的两动点，且满x₁x₂+2y₁y₂=0，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$（其中O为坐标原点），是否存在两定点F₁，F₂使得|PF₁|+|PF₂|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得椭圆中的c=$\sqrt{2}$，又由椭圆的长轴为4，由此能求出椭圆方程；
（2）设直线l：x=my-$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，得（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，运用韦达定理和四边形ADBC的面积S=S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁-y₂|，化简整理，运用基本不等式即可求得m=0时，取得最大值4；
（3）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，运用向量的坐标运算，得$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{20}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{10}$=1，由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值4$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）由题设知：抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的焦点为（$\sqrt{2}$，0），
∴椭圆中的c=$\sqrt{2}$，又由椭圆的长轴为4，得a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设直线l：x=my-$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，得：（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，判别式为（2$\sqrt{2}$m）²+8（m²+2）＞0，
则四边形ADBC的面积S=S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁-y₂|=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$=$\frac{8\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤$\frac{8}{2}$=4，
当且仅当$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$即m=0时，等号成立．
则四边形ADBC的面积的最大值为4．
（3）存在两定点F₁，F₂使得|PF₁|+|PF₂|为定值．
设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+2{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+2{y}_{2}}\end{array}\right.$，①
x₁x₂+2y₁y₂=0，②
M，N是椭圆上的点，
∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
由①②，得x_p²+2y_P²=（x₁+2x₁）²+2（y₁+2y₂）²
=（x₁²+2y₁²）+4（x₂²+2y₂²），
∴x_P²+2y_P²=20，即$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{20}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{10}$=1，
由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查两线段长为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．