Question

10．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A点在抛物线上，且A的横坐标为4，|AF|=5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l为过（4，0）点的任意一条直线，若l交抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆必过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点和准线方程，再由抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设直线l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，即可证得以AB为直径的圆必过坐标原点．

解答 （1）解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，|AF|=4+$\frac{P}{2}$=5，
解得p=2，
即有抛物线的方程为y²=4x；
（2）证明：设直线l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入抛物线方程y²=4x，可得
y²-4my-16=0，
判别式为16m²+64＞0恒成立，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=16，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，
则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
则以AB为直径的圆必过坐标原点．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．