Question

6．定义：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道，则下列函数：①f（x）=x²；②f（x）=$\frac{sinx}{x}$；③f（x）=2^x；④f（x）=$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$在区间[4，+∞）内有一个宽度为1的通道的函数有（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 通过当x∈[4，+∞）时，f（x）∈[16，+∞），即可判断①的正误．
f（x）=$\frac{sinx}{x}$，随着x的增大，函数值趋近于0，判断函数f（x）在[4，+∞）内有一个宽度为1的通道，判断②的正误．
对于③，当x∈[4，+∞）时，确定函数的值域，2^x≥16，即可判断③的正误；
对于④，当x∈[1，+∞）时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，可取另一直线，满足在[4，+∞）有一个宽度为1的通道；

解答 解：对于①，当x∈[1，+∞）时，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一个宽度为1的通道；∴①不正确．
对于②，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数x，都存在一个实数4，使得函数f（x）在[4，+∞）内有一个宽度为1的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；∴②正确．
对于③，当x∈[4，+∞）时，2^x≥16，故在[4，+∞）没有一个宽度为1的通道，∴③不正确．
对于④，当x∈[4，+∞）时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为y=x-1，满足在[4，+∞）有一个宽度为1的通道；∴④正确．
故选：C．

点评 本题考查的重点是对新定义的理解，解题的关键是通过研究函数的性质，找出满足题意的直线．